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Theorie II - Quantenmechanik I


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Quantenmechanik I (QM I) Version Dez.23

Mit * gekennzeichnete Themen können optional behandelt werden. Die Reihenfolge der Kapitel kann umgestellt werden.

I) Grundzüge der Quantenmechanik

  1. Vorbemerkungen*: Die Rolle der Quantenphysik; Grundbegriffe der klassischen Disziplinen
  2. Welle-Teilchen-Dualität am Beispiel des Doppelspalt-Experiments
  3. Die Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen
    • Analogien zur Wellengleichung für Photonen, Klein-Gordon-Gleichung*
  4. Wellenpakete und Fouriertransformation
    • Wellenpaket zu festem Zeitpunkt; Ausbreitung von Wellenpaketen
  5. Erwartungswerte und Varianz bei Messung von Ort und Impuls
    • Veranschaulichung der Unschärferelation (am Einzelspalt*)
  6. Einschub: Operatoren, Skalarprodukt, Kommutatoren, Baker-Hausdorff-Identität, Hermitizität
  7. Klassisch-quantenmechanische Korrespondenz und Schrödinger-Gleichung
    • Allgemeine Regeln für die Aufstellung der Schrödinger-Gleichung,
    • Postulate der Quantentheorie;
    • Ehrenfest-Theorem
  8. Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte
  9. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
    • stationäre Zustände,
    • Eigenwert-Gleichung

II) Einfache Probleme

  1. Potentialstufe
  2. Potentialschwelle und Tunneleffekt
    • Beispiele*: alpha-Zerfall, Feldemission, STM
  3. (Endlich tiefer) Potentialtopf: gebundene Zustände
    • Anwendungen* und Beispiele*
  4. Periodische Potentiale* / Bloch-Theorem*
  5. Symmetrieeigenschaften und Parität
  6. Harmonischer Oszillator
    • Lösung durch Potenzreihenansatz, Hermite-Polynome
  7. Teilchen im Magnetfeld*, Aharonov-Bohm Effekt*

III) Abstrakte Formulierung: Vektoren und Operatoren im Hilbertraum

  1. Vektoren im Hilbertraum, Dirac-Notation, Dualer Raum und Skalarprodukt
  2. Operatoren im Hilbertraum, adjungierte und hermitesche Operatoren, Darstellung, Basiswechsel und unitäre Operatoren
  3. Eigenwertproblem hermitescher Operatoren
  4. Harmonischer Oszillator: algebraische Methode
  5. Zusammenhang mit Orts- und Impulsdarstellung
  6. Messung physikalischer Größen, allgemeine Unschärfe-Relation

IV) Zentralkraftproblem und Drehimpuls

  1. Schrödinger-Gleichung für Zentralkräfte
    • Winkelabhängige Differentialgleichung (ohne Herleitung; s. E-Dynamik)
    • Eigenwerte und Eigenfunktionen (Kugelflächenfunktionen)
    • Drehimpuls als Erzeugende von Drehungen*
    • Radialgleichung für das Zentralkraftproblem
  2. Wasserstoffatom
  3. Dreidimensionaler harmonischer Oszillator*

V) Drehimpuls und Spin

  1. Vertauschungsrelationen, Drehimpulsalgebra
  2. Spin 1/2; Pauli-Matrizen; Experimenteller Nachweis*
  3. Schrödinger-Gleichung für Spin im Magnetfeld; Spinmessungen*
  4. Drehimpulsaddition + Clebsch-Gordon-Koeffizienten; Beispiel: l = 1, s = ½
  5. Anwendungen* (siehe Vorlesung SdM I): Spin-Bahn-Kopplung; Zeeman-Effekt; Paschen-Back-Effekt

VI) Näherungsmethoden

  1. Zeitunabhängige Störungstheorie:
    • Nicht-entartete Störungstheorie; quadratischer Stark-Effekt
    • Störungstheorie für entartete Zustände
    • linearer Stark-Effekt beim H-Atom
  2. Grundzüge der zeitabhängigen Quantendynamik
    • Zeitabhängige Störungstheorie
    • Fermis „Goldene Regel“
    • Rabi-Problem
    • Zwei-Niveau-System im Strahlungsfeld* (siehe QM II)
  3. 3. Variationsrechnung;
    • Herleitung / Diskussion
    • Bezug zum Variationsprinzip der klassischen Mechanik*;
    • Beispiele*: Grundzustand des He-Atoms*, ...

VII) Die Rolle von Verschränkung in der QM

  1. Verschränkung, EPR-Paradoxon, Bell-Ungleichungen, Deutungen der QM
  2. Grundideen des quantum computings*, Beispiele*


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